终值定理，终值的定理

发布时间：2024-11-09 热度：7

终值定理，终值的定理

终值定理

一、概述

终值定理是“信号与系统”课程中的重要内容，在系统分析尤其是稳态响应方面扮演着关键角色。它主要用于通过拉普拉斯变换（Laplace Transform）或Z变换（Z-Transform）来求解系统的长期行为。

二、类型与定理内容

终值定理分为两类：一类应用于连续系统，另一类应用于离散系统。

1. 连续系统

定理内容：

设有连续函数 ( f(t) )，其拉普拉斯变换为 ( F(s) ) ，终值定理表达为：

[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) ]

证明：

由微分定理，有：

[ \mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0) ]

对等式两边取极限，得：

[ \lim_{s \to 0} \mathcal{L}{f'(t)} = \lim_{s \to 0} (sF(s) - f(0)) ]

由于：

[ \lim_{s \to 0} \mathcal{L}{f'(t)} = \lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t) dt = \lim_{t \to \infty} f(t) ]

从而得到终值定理的形式：

[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) ]

例子：

如函数 ( f(t) ) 的象函数 ( F(s) = \frac{s+a}{s^2 + 2s + a} )，求原函数 ( f(t) ) 的终值。

解：由终值定理，得：

[ \lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{s \to 0} \frac{s(s+a)}{s^2 + 2s + a} ]

根据 ( s=0 ) 在收敛域内的情况，可得：

[ \lim_{s \to 0} \frac{s+a}{s^2 + 2s + a} = \frac{a}{a} = 1 ]

因此， ( f(\infty) = 1 )。

2. 离散系统

定理内容：

设有离散序列 ( f[k] )，其Z变换为 ( F(z) ) ，终值定理表达为：

[ \lim_{k \to \infty} f[k] = \lim_{z \to 1} (z-1)F(z) ]

解释：

此定理适用于右边序列（即 ( n < M ) 时 ( f[n] = 0 )），且要求 ( z=1 ) 在收敛域内。

例子：

已知因果序列的Z变换为：

[ F(z) = \frac{z}{z - 0.5} ]

求原序列的终值。

解：

[ \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{z}{z - 0.5} = \lim_{z \to 1} \frac{z}{0.5} = 2 ]

因此， ( f(\infty) = 2 )。

三、应用与重要性

终值定理在多个工程领域中都有广泛的应用，特别是在自动控制和数字信号处理中。

快速求解 ：

终值定理提供了一种快速而有效的方法来求解系统稳态响应，避免了繁琐的时域迭代计算。

系统分析 ：

通过终值定理，我们可以更直观地理解系统对输入信号的长期响应特性，为系统设计和优化提供依据。

跨学科应用 ：

终值定理不仅在信号与系统领域有着广泛应用，还涉及自动控制、数字信号处理等多个学科领域。

稳态误差 ：

终值定理也是计算自控原理中稳态误差的重要工具。例如，对于一个稳定的系统，其稳态误差可以通过终值定理直接计算得到。

四、注意事项

1. 收敛域 ：

在使用终值定理时，必须确保 ( s=0 ) 或 ( z=1 ) 在收敛域内，否则定理不适用。

2. 系统稳定性 ：

系统必须是稳定的，即所有的极点都在单位圆内（对于Z变换），或者实部均为负（对于拉普拉斯变换）。

3. 因果性 ：

系统必须是因果的，即输出只依赖于当前和之前的输入。

五、总结

终值定理是信号与系统分析中的重要工具，它简化了求解系统稳态响应的过程，并提供了深刻理解系统行为的途径。在考研和实际工程应用中，熟练掌握并应用终值定理是非常有价值的。