一元三次方程求根公式，一元三次方程的求根公式

发布时间：2025-01-14 热度：24

一元三次方程求根公式，一元三次方程的求根公式

一元三次方程的求根公式主要有卡尔丹公式和盛金公式。以下是详细介绍：

卡尔丹公式

对于一元三次方程 (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)（(a \neq 0)），可以通过变量代换将其化为 (x^3 + px + q = 0) 的形式，其中 (p = \frac{3ac - b^2}{3a^2})，(q = \frac{-2b^3 + 9abc - 27a^2d}{27a^3})。

卡尔丹公式的判别式为 (\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3)。根据判别式的值，可以判断方程根的情况：

当 (\Delta \geq 0) 时，方程的一个实根为：

[x_1 = \sqrt{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}]

另外两个根（当 (\Delta > 0) 时为共轭虚根）可以通过将 (x_1) 乘以复数立方根 (\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}) 和 (\omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}) 得到：

[x_2 = \omega \sqrt{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \omega^2 \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}] [x_3 = \omega^2 \sqrt{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \omega \sqrt{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}]

盛金公式

盛金公式是另一种求解一元三次方程的方法，它的判别式和卡尔丹公式有所不同。盛金公式的判别式为 (\Delta = B^2 - 4AC)，其中 (A = b^2 - 3ac)，(B = bc - 9ad)，(C = c^2 - 3bd)。

盛金公式的优点在于它的表达式更加简洁，特别是当 (\Delta = 0) 时，盛金公式的表达式非常简单，不存在开方运算（此时卡尔丹公式仍存在开立方运算），手算解题效率高。

推导过程

一元三次方程求根公式的推导过程较为复杂，通常涉及到配方法、完全立方公式的应用以及韦达定理的使用。以下是推导的主要步骤：

1. 消去二次项：通过变量代换 (x = y - \frac{b}{3a})，将原方程化为 (y^3 + py + q = 0) 的形式。

2. 利用完全立方公式：设 (y = u + v)，并根据完全立方公式 ((u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v))，得到关于 (u) 和 (v) 的方程组： [\begin{cases} -3uv = p \ -u^3 - v^3 = q \end{cases}]

3. 解方程组：通过解这个方程组，可以得到 (u) 和 (v) 的值，进而得到 (y) 的值，最后再代回 (x = y - \frac{b}{3a}) 得到原方程的根。

在推导过程中，需要注意的是，当使用卡尔丹公式时，可能会出现增根的情况，需要进行检验。

以上就是一元三次方程求根公式的详细介绍，包括卡尔丹公式、盛金公式以及它们的推导过程。在实际应用中，可以根据具体情况选择使用哪种公式来求解一元三次方程。